Question

已知函數的導函數是，在處取得極值，且.

（Ⅰ）求的極大值和極小值；

（Ⅱ）記在閉區間上的最大值為，若對任意的總有成立，求的取值范圍；

（Ⅲ）設是曲線上的任意一點．當時，求直線OM斜率的最小值，據此判斷與的大小關系，并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）極大值為，極小值為；（Ⅱ） ；（Ⅲ）直線斜率的最小值為4，．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）根據題意，先求m值，設原函數解析式，由，得原函數解析式，再求導函數，列表求極值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數在各個區間上的單調性，對分情況討論，分和兩種情況，分別找出這兩種情況下函數的最大值，使得成立，從而求出的取值范圍；（Ⅲ）當時，求直線OM斜率表達式，得斜率最小值為4，據此判斷，，再利用導數的證明當時，函數大于0 恒成立．

試題解析：解：（I）依題意，，解得，　　             1分

由已知可設，因為，所以，

則，導函數．　　          3分

列表：

		1	（1,3）	3	（3，＋∞）
	+	0	-	0	+
	↗	極大值4	↘	極小值0	↗

由上表可知在處取得極大值為，

在處取得極小值為．　　　　              5分

（Ⅱ）①當時，由（I）知在上遞增，

所以的最大值，　　               6分

由對任意的恒成立，得，則，

∵，∴，則，∴的取值范圍是．  8分

②當時，因為，所以的最大值，

由對任意的恒成立，得， ∴，

因為，所以，因此的取值范圍是，

綜上①②可知，的取值范圍是．　　　　　　　　               10分

（Ⅲ）當時，直線斜率，

因為，所以，則，

即直線斜率的最小值為4．　　　　　　　            　11分

首先，由，得.

其次，當時，有，所以，　          13分

證明如下：記，則，

所以在遞增，又，

則在恒成立，即，所以 ．      14分

考點：1、導數的運算；2、利用導數求函數的最值及單調性；3、導數與其他函數的綜合應用．