Question

如圖(1)是一個邊長為1的正三角形，將每邊三等分，以中間一段為邊向外作正三角形，并擦去中間一段，得圖(2)．如此繼續下去，得圖(3)…試求第n個圖形的邊長和周長．

Answer 1

解：設第n個圖形的邊長為a_n，
由題意知，從第2個圖形起，每一個圖形的邊長均為上一個圖形邊長的，
所以數列{a_n}是首項為1，公比為的等比數列，
故，
要計算第n個圖形的周長，只需計算第n個圖形的邊數，第1個圖形的邊數為3，因為從第2個圖形起，每一個圖形的邊數均為上一個圖形邊數的4倍，所以第n個圖形的邊數為3×4^n-1，
因此，第n個圖形的周長=×（3×4^n-1）=3×。