Question

如圖1,設P₁,P₂,P₃,…,P_n,…是曲線y=x上的點列,Q₁,Q₂,Q₃,…,Q_n,…是x軸正半軸上的點列,且△OQ₁P₁,△Q₁Q₂P₂,…,△Q_n-1Q_nP_n,…都是正三角形,設它們的邊長為a₁,a₂,…,a_n,…,求證:a₁+a₂+…+a_n=n(n+1).

圖1

Answer 1

證明：(1)當n=1時,點P₁是直線y=與曲線y=的交點,∴可求出P₁(,).

∴a₁=|OP₁|=.

而×1×2=,命題成立.

(2)假設n=k(k∈N^*)時命題成立,即a₁+a₂+…+a_k=k(k+1),則點Q_k的坐標為(k(k+1),0),

∴直線Q_kP_k+1的方程為y=［x-k(k+1)］.代入y=,解得P_k+1點的坐標為((k+1)).

∴a_k+1=|Q_kP_k+1|=(k+1)·=(k+1).

∴a₁+a₂+…+a_k+a_k+1=k(k+1)+(k+1)=(k+1)(k+2).

∴當n=k+1時,命題成立.

由(1)(2),可知命題對所有正整數都成立.