Question

已知函數.
(1)求的單調區間；
(2)當時，求證：恒成立..

Answer 1

(1)單調減區間為，單調增區間為，(2)詳見解析.

試題分析：(1)求函數單調區間，有四個步驟.一是求定義域，二是求導數為零的根，由得，三是分區間討論導數正負，當時，當時，四是根據導數正負寫出單調區間：單調減區間為，單調增區間為，.(2)證明不等式恒成立問題一般化為函數最值問題.可以直接求函數的最小值，也可將與分離，求函數的最小值.兩種思路都簡潔，實質都一樣，就是求最小值.
試題解析：解：
(1)定義域為                  1分
                  2分
令，得                  3分
與的情況如下：

		0
	↘	極小值	↗

                5分
所以的單調減區間為，單調增區間為             6分
(2)證明1：
設，                  7分
               8分
與的情況如下：

		1
		0
	↘	極小值	↗

所以，即
在時恒成立，           10分
所以，當時，，
所以，即，
所以，當時，有.            13分
證明2：
令                 7分
                 8分
令，得                 9分
與的情況如下：

		0
	↘	極小值	↗

          10分
的最小值為         -11分
當時，，所以
故              -12分
即當時，.                  13分