Question

雙曲線M的中心在原點，并以橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的焦點為焦點，以拋物線y²=-2

3

x的準線為右準線．
（Ⅰ）求雙曲線M的方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+3 與雙曲線M相交于A、B兩點，O是原點．
①當k為何值時，使得

OA

•

OB

=0？
②是否存在這樣的實數k，使A、B兩點關于直線y=mx+12對稱？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得所求的雙曲線的半焦距c=2

3

，準線為：x=

3

2

從而可得

a2

c

=

3

2

，可求雙曲線M的方程
（Ⅱ）①設直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、聯立方程組

x2 3 - y2 9 =1  y=kx+3

消去y（k²-3）x²+6kx+18=0，設A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、則k²-3≠0，△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，-

6

＜k＜

6

，從而有x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

由

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0，可求k
②若存在實k，使A、B兩點關于直線y=mx+12對稱，則必有k=-

1

m

當m≠0時，利用點差法，由

3 x 2 1 - y 2 1 =9 3 x 2 2 - y 2 2 =9

可得，3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0即k•

y1+y2

2

=3•

x1+x2

2

，再由A、B中點P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線y=mx+12上，代入可求

解答：解：（Ⅰ）易知，橢圓

x2

25

+

y2

13

=1的半焦距為：c=2

3

，
又拋物線y2=-2

3

x的準線為：x=

3

2

．（2分）
設雙曲線M的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，依題意有

a2

c

=

3

2

故a2=

3

2

c

3

2

•2

3

=   3，又b²=c²-a²=12-3=9．
∴雙曲線M的方程為

x2

3

-

y2

9

=1．（4分）
（Ⅱ）設直線l與雙曲線M的交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點
聯立方程組

x2 3 - y2 9 =1  y=kx+3

消去y得（k²-3）x²+6kx+18=0，（5分）
∵A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）、兩點的橫坐標是上述方程的兩個不同實根，∴k²-3≠0
∴△=36k²-4（k²-3）×18＞0，解可得，-

6

＜k＜

6

，
從而有x1+x2=-

6k

k2-3

，x1x2=

18

k2-3

．（7分）
∴y₁y₂=（kx₁+3）（kx₂+3）=k²x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=

18k2

k2-3

-

18k2

k2-3

+9=9．
若

OA

•

OB

=0，則有x₁x₂+y₁y₂=0，即

18

k2-3

+9=0
∴k=±1
∴當k=±1時，使得

OA

•

OB

=0，（10分）
②若存在實k，使A、B兩點關于直線y=mx+12對稱，則必有k=-

1

m

因此，當m=0時，不存在滿足條件的k；
當m≠0時，由

3 x 2 1 - y 2 1 =9 3 x 2 2 - y 2 2 =9

得3（x₁²-x₂²）-（y₁²-y₂²）=0
∴k•

y1+y2

2

=3•

x1+x2

2

∵A、B中點P（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）在直線y=mx+12上，
∴

y1+y2

2

=m•

x1+x2

2

+12，代入上式得
km•

x1+x2

2

+12k=3•

x1+x2

2

，又km=-1，∴x₁+x₂=6k（13分）
將x1+x2=-

6k

k2-3

代入并注意到k≠0，得k=±

2

．
∴當m≠0時，存在實數k=±

2

，使A、B兩點關于直線y=mx+12對稱（14分）

點評：本題主要考查了由雙曲線的性質求解雙曲線的方程及直線與曲線的位置關系，要求考生具備一定的邏輯推理與計算的能力，本題具有較大的綜合性．