Question

雙曲線M的中心在原點(diǎn)，并以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，以拋物線的準(zhǔn)線為右準(zhǔn)線.

（Ⅰ）求雙曲線M的方程；

（Ⅱ）設(shè)直線： 與雙曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，O是原點(diǎn).

① 當(dāng)為何值時(shí)，使得?

② 是否存在這樣的實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱？若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（Ⅰ）雙曲線M的方程為.

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，使得. 

②當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱

解析:

（Ⅰ）易知，橢圓的半焦距為：，

 又拋物線的準(zhǔn)線為：.    ----------2分

設(shè)雙曲線M的方程為，依題意有，

故，又.

∴雙曲線M的方程為. ----------4分

（Ⅱ）設(shè)直線與雙曲線M的交點(diǎn)為、兩點(diǎn)

聯(lián)立方程組 消去y得  ，-------5分

∵、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是上述方程的兩個(gè)不同實(shí)根， ∴

∴，

從而有，.   ----------7分

又，

∴.

若，則有 ，即 .

∴當(dāng)時(shí)，使得.    ----------10分

② 若存在實(shí)數(shù),使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則必有 ，

因此，當(dāng)m=0時(shí)，不存在滿足條件的k；

當(dāng)時(shí)，由 得

  

∵A、B中點(diǎn)在直線上，

∴，代入上式得

，又， ∴----------13分

將代入并注意到，得 .

∴當(dāng)時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使A、B兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱----------14分