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已知函數(shù)已知冪函數(shù)g(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，又f（x）=sinx+mcosx，F(xiàn)（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（I）若tanx=
13
，求F（x）的值；
（Ⅱ）把F（x）圖象的橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的一半后得到H（x），求H（x）的單調(diào)減區(qū)間．
分析：（I）利用冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，確定m的值．再求導(dǎo)，即可求得F（x）的值；
（Ⅱ）先確定H（x）的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，即可求得H（x）的單調(diào)減區(qū)間．
解答：解：（I）冪函數(shù)f(x)=x-m2+2m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴-m2+2m+3＞0，∴-1＜m＜3，
又m∈Z，函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，故m=1…．（3分）
∴f（x）=sinx+cosx，f'（x）=cosx-sinx
∴F（x）=f′（x）[f（x）+f′（x）]-1=2（cosx-sinx）cosx-1=cos2x-sin2x=
1-tan2x
1+tan2x
-
2tanx
1+tan2x

∵tanx=
1
3
，F(xiàn)（x）=
4
5
-
3
5
=
1
5
．…（6分）
（Ⅱ）由（I）知：F（x）=cos2x-sin2x=
2
cos(2x+
π
4
)，∴H(x)=
2
cos(4x+
π
4
)．
令2kπ≤4x+
π
4
≤2kπ+π，k∈Z得：
kπ
2
-
π
8
≤x≤
kπ
2
+
3π
8
，k∈Z
∴H（x）的單調(diào)減區(qū)間為[
kπ
2
-
π
8
，
kπ
2
+
3π
8
]k∈Z…（12分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查冪函數(shù)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)y=f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），對(duì)于偶函數(shù)y=g（x）（x∈R），當(dāng)x≥0時(shí)，g（x）=f（x）-2x．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y=g（x）的解析式，并在給  定坐標(biāo)系下，畫(huà)出函數(shù)y=g（x）的圖象；
（3）寫(xiě)出函數(shù)y=|g（x）|的單調(diào)遞減區(qū)間．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)y=t（x）的圖象過(guò)點(diǎn)（2，4），函數(shù)y=f（x）的圖象可由y=t（x）的圖象向左移動(dòng)
1
2
個(gè)單位并向下移動(dòng)
9
4
個(gè)單位得到．
（1）求函數(shù)t（x）和f（x）的解析式；
（2）若集合A={m∈R|當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-mx具有單調(diào)性}，集合B={m∈R|當(dāng)0＜x＜
1
2
時(shí)，不等式f(x)+3＜2x+m恒成立}，求B∩（?RA）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=x（2-k）（1+k）（k∈Z）滿(mǎn)足f（2）＜f（3）．
（1）求實(shí)數(shù)k的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f（x）的解析式；
（2）對(duì)于（1）中的函數(shù)f（x），試判斷是否存在正數(shù)m，使函數(shù)g（x）=1-mf（x）+（2m-1）x，在區(qū)間[0，1]上的最大值為5．
若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知冪函數(shù)f（x）=x-
1
2
p2+p+
3
2
（p∈Z）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在其定義域內(nèi)是偶函數(shù)．
（1）求p的值，并寫(xiě)出相應(yīng)的函數(shù)f（x）．
（2）對(duì)于（1）中的f（x），是否存在正實(shí)數(shù)m，使得g（x）=-f（x）+（2m-1）x+1在區(qū)間[-1，1]上的值域是[-1，
5
4
]，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：新課標(biāo)教材全解高中數(shù)學(xué)人教A版必修1 人教A版 題型：038

已知冪函數(shù)f(x)＝(p∈N)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)．

(1)求p的值，并寫(xiě)出相應(yīng)函數(shù)f(x)的解析式；

(2)對(duì)于(1)中求得的函數(shù)f(x)，設(shè)函數(shù)g(x)＝－qf[f(x)]＋(2q－1)f(x)＋1，問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)q(q＜0)，使得g(x)在區(qū)間(－∞，－4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間(－4，0)上是增函數(shù)，若存在，請(qǐng)求出來(lái)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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同步練習(xí)冊(cè)答案