Question

（03年全國卷理）（12分，附加題4 分）

（I）設是集合 且}中所有的數從小到大排列成的數列，即，，，，，，…

 將數列各項按照上小下大，左小右大的原則寫成如下的三角形數表：

3

5           6

9   10   12

―   ―   ―   ―

…………

    ⑴寫出這個三角形數表的第四行、第五行各數；

⑵求

（II）（本小題為附加題，如果解答正確，加4 分，但全卷總分不超過150分）

    設是集合，且中所有的數從小到大排列成的數列，已知，求.

Answer 1

解析：（Ⅰ）解：用(t,s)表示，下表的規律為

               3（(0,1)=）

5(0,2)  6(1,2)

9(0,3)   10(1,3)   12(2,3)

―   ―   ―   ―

…………

  （i）第四行17(0,4)  18(1,4)  20(2,4)  24(3,4)   

第五行 33(0,5)  34(1,5)  36(2,5)  40(3,5)  48(4,5)

 

   （i i）解法一：因為100＝（1+2+3+4+……+13）+9，所以(8,14)＝＝16640

解法二：設，只須確定正整數 

數列中小于的項構成的子集為 

其元素個數為

滿足等式的最大整數為14，所以取

因為100－

（Ⅱ）解：

令

         因

        現在求M的元素個數：

其元素個數為：   

某元素個數為

某元素個數為

另法：規定（r,t,s），＝（3,7,10）

則＝   （0,1,2）                             

  依次為      （0,1,3） （0,2,3） （1,2,3）                 

（0,1,4） （0,2,4）（1,2,4）（0,3,4） （1,3,4）（2,3,4）    

…………

（0,1,9） （0,2,9）………… （ 6,8,9  ）（7,8,9）          

（0,1,10）（0,2,10）………（0,7,10）（ 1,7,10）（2,7,10）（3,7,10）……   +4