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已知兩點F′（-2，0），F（2，0），點P為坐標平面內的動點，且滿足|
F′F
||
FP
|+
F′F
•
F′P
=0．
（1）求動點P（x，y）的軌跡C的方程；
（2）過點F的直線l與軌跡C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四點，自下而上依次記這四點為A、B、C、D，求
AB
•
CD
的最小值．
（1）
F′F
=(4，0)，
F′P
=(x+2，y)
依題意得4•
(x-2)2+y2
+4(x+2)=0，
化簡得y2=8x
（2）設直線l的方程為x=my+2，A（x1，y1），D（x2，y2）
聯立方程得
x=my+2
y2=8x
⇒y2-8my-16=0，
∴
y1+y2=8m
y1•y2=-16

∵△≥0即（8m）2-4•（-16）≥0恒成立
∴
AB
•
CD
=|
AB
||
CD
|=(x1+2-1)(x2+2-1)=(x1+1)(x2+1)
=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+3m（y1+y2）+9
=-16m2+24m2+9=8m2+9，
當m=0時，即直線l的方程為x=2，
AB
•
CD
的最小值為9．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C1：y2=8x與雙曲線C2：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）有公共焦點F2，點A是曲線C1，C2在第一象限的交點，且|AF2|=5．
（1）求雙曲線C2的方程；
（2）以雙曲線C2的另一焦點F1為圓心的圓M與直線y=
3
x相切，圓N：（x-2）2+y2=1．過點P（1，
3
）作互相垂直且分別與圓M、圓N相交的直線l1和l2，設l1被圓M截得的弦長為s，l2被圓N截得的弦長為t，問：
s
t
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，線段MN的兩個端點M、N分別在x軸、y軸上滑動，|MN|=5，點P是線段MN上一點，且
MP
=
2
3
PN
，點P隨線段MN的運動而變化．
（1）求點P的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設
OS
=
OA
+
OB
，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(1，
q
2
)，且離心率e=
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓交于不同的兩點M、N，且線段MN的垂直平分線過定點G(
1
8
，0)，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y=±
3
x，O為坐標原點，點M(
5
，
3
)在雙曲線上．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l與雙曲線交于P，Q兩點，且
OP
⊥
OQ
，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

（A題）如圖，在橢圓
x2
a2
+
y2
8
=1（a＞0）中，F1，F2分別是橢圓的左右焦點，B，D分別為橢圓的左右頂點，A為橢圓在第一象限內弧上的任意一點，直線AF1交y軸于點E，且點F1，F2三等分線段BD．
（1）若四邊形EBCF2為平行四邊形，求點C的坐標；
（2）設m=
S△AF1O
S△AEO
，n=
S△CF1O
S△CEO
，求m+n的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1、F2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，
MA1
=2
A1F1
．
（I）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點M的直線l'與橢圓交于C、D兩點，若
OC
•
OD
=0，求直線l'的方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

直線l過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點，且交拋物線于A，B兩點，交其準線于C點，已知|AF|=4，
CB
=3
BF
，則p=（　　）
A．2B．
4
3
C．
8
3
D．4

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知點A（0，1）、B（0，-1），P是一個動點，且直線PA、PB的斜率之積為-
1
2
．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）設Q（2，0），過點（-1，0）的直線l交C于M、N兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式
QM
•
QN
≤λ恒成立，求λ的最小值．

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