Question

甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數為b;固定部分為a元。把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

Answer 1

（1）y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）為使全程運輸成本最小，當≤c時，行駛速度v=；當＞c時，行駛速度v=c

【錯解分析】（1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間是，全程運輸成本為 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函數及定義域為y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）由題意s,a,b,v均為正數，故s(+bv)≥2s （當且僅當=bv時，即 v=時，等號成立）∴v=時，全程運輸成本最小。
此解（2）中，結論成立的條件是v=，但速度能否達到呢？沒有注意實際問題中的條件限制，使解答不夠完整。
【正解】（1）依題意，汽車從甲地勻速行駛到乙地所用的時間是，全程運輸成本為 y=a+bv²=s(+bv) 故所求函數及定義域為y= s(+bv) ,    0＜v≤c
（2）應分以下兩種情況討論：
①若≤c,則當v=時，全程運輸成本最小。
②若＞c,當0＜v≤c時,易證y是v的增函數，
因此，當v=c時，全程運輸成本最小。
事實上，s(+bv)- s(+bc)=s[a(-)+b(v-c)]=(c-v)(a-bcv)
∵c-v≥0且a＞bc²∴a-bcv≥a-bc²＞0
∴s(+bv)≥s(+bc) （當且僅當v=c時，等號成立）
綜上所述，為使全程運輸成本最小，當≤c時，行駛速度v=；當＞c時，行駛速度v=c。
【點評】在應用均值不等式解題時，一定要注意它的三個前提條件缺一不可，即“一正、二定、三相等”。