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己知函數f（x）=2acos2x+bsinxcosx，且f（0）=2，f（
π
3
）=
1
2
+
3
2

（Ⅰ）求f（x）的最大值與最小值；
（Ⅱ）求f（x）的單調增區(qū)間．
分析：（Ⅰ）由f（0）=2，f（
π
3
）=
1
2
+
3
2
可得：a=1，b=2，于是可得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，從而可求f（x）的最大值與最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=
2
sin（2x+
π
4
）+1，令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，即可求得其單調增區(qū)間．
解答：解：（Ⅰ）由f（0）=2，f（
π
3
）=
1
2
+
3
2
可得：a=1，b=2，
∴f（x）=2cos2x+2sinxcosx
=sin2x+cos2x+1
=
2
sin（2x+
π
4
）+1，
∴當x=
π
8
+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最大值，為
2
+1；
當x=
5π
8
+kπ（k∈Z）時，f（x）取得最小值，為-
2
+1；
（Ⅱ）令-
π
2
+2kπ≤2x+
π
4
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，
則-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調增區(qū)間為[-
3π
8
+kπ，
π
8
+kπ]，k∈Z．
點評：本題考查三角函數的化簡求值，考查正弦函數的單調性與最值，突出輔助角公式的應用，考查分析與應用能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f（x）=log2（-x2+2x+3）的定義域為A，函數g(x)=x+
1
x
x∈(-∞，0)∪(0，
1
2
)的值域為B，不等式2x2+mx-8＜0的解集為C
（1）求A∪（CRB）、A∩B；
（2）若A∩B⊆C，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=x2+bln（2x+1），其中b≠0．
（1）若己知函數f（x）是增函數，求實數b的取值范圍；
（2）若己知b=1，求證：對任意的正整數n，不等式n＜f（n）恒成立．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•和平區(qū)一模）己知函數f（x+1）是偶函數，當x∈（-∞，1）時，函數f（x）單調遞減，設a=f（-
1
2
），b=f（-1），c=f（2），則a，b，c的大小關系為（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網給出下列5個命題：
①0＜a≤
1
5
是函數f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調減函數的充要條件；
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉移軌道飛向月球，在月球附近一點P進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點第三次變軌進入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2Cl和2c2分別表示摘圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長軸的長，則有c1a2＞a1c2；
③函數y=f（x）與它的反函數y=f-1（x）的圖象若相交，則交點必在直線y=x上；
④己知函數f（x）=loga（1-ax）在（O，1）上滿足，f′（x）＞0，貝U
1
1-a
＞1+a＞
2a
；
⑤函數f（x）=
tan2x+
(1+i)2
i
+1
tan2x+2
（x≠kπ+
π
2
），k∈Z，/為虛數單位）的最小值為2；
其中所有真命題的代號是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

己知函數f（x）的定義域關于原點對稱，且滿足以下三條件：
①當x1，x2是定義域中的數時，有f（x1-x2）=
f(x1)•f(x2)+1f(x2)-f(x1)
；
②f（a）=-1（a＞0，a是定義域中的一個數）；
③當0＜x＜2a時，f（x）＜0．
（1）試證明函數f（x）是奇函數．
（2）試證明f（x）在（0，4a）上是增函數．

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