Question

(2014·鄭州模擬)已知函數f(x)=e^x+ax,g(x)=ax-lnx,其中a≤0.
(1)求f(x)的極值.
(2)若存在區間M,使f(x)和g(x)在區間M上具有相同的單調性,求a的取值范圍.

Answer 1

（1）f(x)的極小值為f(ln(-a))=-a+aln(-a);沒有極大值
（2）(-∞,-1)

(1)f(x)的定義域為R,且f′(x)=e^x+a.
當a=0時,f(x)=e^x,故f(x)在R上單調遞增.
從而f(x)沒有極大值,也沒有極小值.
當a<0時,令f′(x)=0,得x=ln(-a).
f(x)和f′(x)的情況如下：

x	(-∞,ln(-a))	ln(-a)	(ln(-a),+∞)
f′(x)	-	0	+
f(x)	↘		↗

 
故f(x)的單調遞減區間為(-∞,ln(-a));
單調遞增區間為(ln(-a),+∞).
從而f(x)的極小值為f(ln(-a))=-a+aln(-a);沒有極大值.
(2)g(x)的定義域為(0,+∞),且g′(x)=a-=.
當a=0時,f(x)在R上單調遞增,
g(x)在(0,+∞)上單調遞減,不合題意.
當a<0時,g′(x)<0,g(x)在(0,+∞)上單調遞減.
當-1≤a<0時,ln(-a)≤0,
此時f(x)在(ln(-a),+∞)上單調遞增,
由于g(x)在(0,+∞)上單調遞減,不合題意.
當a<-1時,ln(-a)>0,
此時f(x)在(-∞,ln(-a))上單調遞減,
由于g(x)在(0,+∞)上單調遞減,符合題意.
綜上,a的取值范圍是(-∞,-1).