Question

如圖，兩個工廠A，B相距2km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm．
（Ⅰ）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；
（Ⅱ）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，在△AOP中，由余弦定理得x²，在△BOP中，由余弦定理得BP²，從而得BP與x的關系，所以，“總噪音影響度”y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

；定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可．
（Ⅱ）用換元法，令t=x²，則y=

1

t

+

4

10-t

(3≤t≤7)；對y求導，令y'=0，得t=

10

3

時，函數有最小值，
即AP=

30

3

（km）時，“總噪音影響度”最小即可．

解答：解：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，則

π

3

≤α≤

2π

3

；
在△AOP中，由余弦定理得x²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²=1²+2²-2×1×2cos（π-α）=5+4cosα，
∴BP²=10-x²．則y=

1

AP2

+

4

BP2

=

1

x2

+

4

10-x2

；
∵

π

3

≤α≤

2π

3

，則-

1

2

≤cosα≤

1

2

，∴3≤5-4cosα≤7，
∴

3

≤x≤

7

；
所以，y=

1

x2

+

4

10-x2

，

3

≤x≤

7

．
（Ⅱ）令t=x²，y=

1

t

+

4

10-t

(3≤t≤7)；
∴y′=

-1

t2

+

4

(10-t)2

=

(t+10)(3t-10)

t2(10-t)2

；
由y'=0，得t=

10

3

，或t=-10（舍去），
當3＜t＜

10

3

，y′＜0，函數在(3，

10

3

)上單調遞減；
當

10

3

＜t＜7，y′＞0，函數在(

10

3

，7)上單調遞增；
∴當t=

10

3

時，即x=

30

3

時，函數有最小值，
也即當AP為

30

3

km時，“總噪音影響度”最小．

點評：本題考查了余弦定理的應用和導數在求函數最值問題中的應用；用求導法求函數最值時，要先求導，再令導數等于0，并判斷導數等于0的點是否為最值點．