Question

如圖，兩個工廠A，B相距2km，點O為AB的中點，現要在以O為圓心，2km為半徑的圓弧MN上的某一點P處建一幢辦公樓，其中MA⊥AB，NB⊥AB．據測算此辦公樓受工廠A的“噪音影響度”與距離AP的平方成反比，比例系數是1，辦公樓受工廠B的“噪音影響度”與距離BP的平方也成反比，比例系數是4，辦公樓受A，B兩廠的“總噪音影響度”y是受A，B兩廠“噪音影響度”的和，設AP為xkm．
（Ⅰ）求“總噪音影響度”y關于x的函數關系，并求出該函數的定義域；
（Ⅱ）當AP為多少時，“總噪音影響度”最小？

Answer 1

解：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，則；
在△AOP中，由余弦定理得x²=1²+2²-2×1×2cosα=5-4cosα，
在△BOP中，由余弦定理得BP²=1²+2²-2×1×2cos（π-α）=5+4cosα，
∴BP²=10-x²．則；
∵，則，∴3≤5-4cosα≤7，
∴；
所以，．
（Ⅱ）令t=x²，；
∴；
由y'=0，得，或t=-10（舍去），
當，函數在上單調遞減；
當，函數在上單調遞增；
∴當時，即時，函數有最小值，
也即當AP為km時，“總噪音影響度”最小．
分析：（Ⅰ）連接OP，設∠AOP=α，在△AOP中，由余弦定理得x²，在△BOP中，由余弦定理得BP²，從而得BP與x的關系，所以，“總噪音影響度”；定義域由∠α的取值得出x的取值范圍即可．
（Ⅱ）用換元法，令t=x²，則；對y求導，令y'=0，得時，函數有最小值，
即AP=（km）時，“總噪音影響度”最小即可．
點評：本題考查了余弦定理的應用和導數在求函數最值問題中的應用；用求導法求函數最值時，要先求導，再令導數等于0，并判斷導數等于0的點是否為最值點．