Question

首項為正數的數列{a_n}滿足a _n+1= （a_n²+3），n∈N+．
（1）證明：若a₁為奇數，則對一切n≥2，a_n都是奇數；
（2）若對一切n∈N+都有a _n+1＞a_n，求a₁的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：已知a₁是奇數，假設a_k=2m﹣1是奇數，其中m為正整數，則由遞推關系得
a _k+1==m（m﹣1）+1是奇數．
根據數學歸納法，
對任何n≥2，an都是奇數．
（2）解：由a _n+1﹣a_n=（a_n﹣1）（a_n﹣3）知，a _n+1＞a_n當且僅當a_n＜1或a_n＞3．
另一方面，若0＜a_k＜1，則0＜a _k+1＜=1；
若a_k＞3，則a _k+1＞=3．
根據數學歸納法得，0＜a₁＜10＜a_n＜1，n∈N+；
a₁＞3a_n＞3，n∈N+．
綜上所述，對一切n∈N+都有a _n+1＞a_n的充要條件是0＜a₁＜1或a₁＞3．