Question

如圖，拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，點P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在拋物線上．
（Ⅰ）寫出該拋物線的方程及其準線方程；
（Ⅱ）當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求y₁+y₂的值及直線AB的斜率．

Answer 1

分析：（I）設出拋物線的方程，把點P代入拋物線求得p則拋物線的方程可得，進而求得拋物線的準線方程．
（II）設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB，則可分別表示k_PA和k_PB，根據傾斜角互補可知k_PA=-k_PB，進而求得y₁+y₂的值，把A，B代入拋物線方程兩式相減后即可求得直線AB的斜率．

解答：解：（I）由已知條件，可設拋物線的方程為y²=2px
∵點P（1，2）在拋物線上∴2²=2p×1，得p=2
故所求拋物線的方程是y²=4x
準線方程是x=-1
（II）設直線PA的斜率為k_PA，直線PB的斜率為k_PB
則kPA=

y1-2

x1-1

(x1≠1)，kPB=

y2-2

x2-1

(x2≠1)
∵PA與PB的斜率存在且傾斜角互補
∴k_PA=-k_PB
由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在拋物線上，得y₁²=4x₁（1）y₂²=4x₂（2）
∴

y1-2

1 4 y12-1

=-

y2-2

1 4 y22-1

∴y₁+2=-（y₂+2）
∴y₁+y₂=-4
由（1）-（2）得直線AB的斜率kAB=

y2-y1

x2-x1

=

4

y1+y2

=-

4

4

=-1(x1≠x2)

點評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．