Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D為BC的中點，，，以A、B為焦點的橢圓經過點C．
（I）建立適當的直角坐標系，求橢圓的方程；
（II）是否存在不平行于AB的直線l與（I）中橢圓交于不同兩點M、N，使？若存在，求出直線l斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（I）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則．
設橢圓方程為，，于是解得，
∴所求橢圓方程為．（6分）
（II）∵條件等價于
∴若存在符合條件的直線，該直線的斜率一定存在，否則與點D（0，）不在x軸上矛盾．
∴可設直線l：y=kx+m（k≠0）
由
得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
由△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0得4k²+1＞m²．（10分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為Q（x₀，y₀），
則．
∵，∴，即．
解得：（12分）
（將點的坐標代入亦可得到此結果）
由4k²+1＞m²，得4k²＜143
∴
∴存在滿足條件的直線l，其斜率的取值范圍是．（14分）
分析：（I）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系，則．
由此可推出所求橢圓方程為．
（II）由題設知，設直線l：y=kx+m（k≠0），得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，再由根的判別式和根與系數的關系可知存在滿足條件的直線l，其斜率的取值范圍是．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．