Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為軸，焦點(diǎn)為,拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn),求證: .

Answer 1

(1)(2)詳見解析.

解析試題分析：(1)可利用待定系數(shù)法設(shè)拋物線方程為求解；
(2)因為是直線與圓錐曲線的相交問，可以設(shè)直線方程（斜率不存在時單獨(dú)討論），然后聯(lián)立拋物線方程和直線方程運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合條件來求解.
試題解析：解：(1)由題設(shè)拋物線的方程為：，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的一個坐標(biāo)為，2分
∵，∴，4分
∴，∴，∴.6分
(2)設(shè)、兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，
法一：因為直線當(dāng)的斜率不為0，設(shè)直線當(dāng)的方程為
方程組得，

因為
所以
=0，
所以.
法二：①當(dāng)的斜率不存在時，的方程為，此時
即有所以.…… 8分
當(dāng)的斜率存在時，設(shè)的方程為
方程組得
所以10分
因為
所以
所以.
由①②得.12分
考點(diǎn)：1.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；2.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.