Question

某小區規劃一塊周長為2a（a為正常數）的矩形停車場，其中如圖所示的直角三角形ADP內為綠化區域．且∠PAC=∠CAB．設矩形的長AB=x，AB＞AD
（1）求線段DP的長關于x的函數l（x）表達式并指出定義域；
（2）應如何規劃矩形的長AB，使得綠化面積最大？

Answer 1

分析：（1）由已知中矩形停車場的周長為2a（a為正常數），直角三角形ADP內為綠化區域．且∠PAC=∠CAB．我們易得tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，進而根據矩形的長AB=x，AB＞AD，可求出線段DP的長關于x的函數l（x）表達式并指出定義域；
（2）由（1）中函數的解析式，我們易求出綠化區域即直角三角形ADP面積的表達式，進而利用基本不等式，我們可求出直角三角形ADP面積取最大值時，對應的AB的長，即可得到答案．

解答：解：（1）AD=BC=a-x，由AB＞AD，得

a

2

＜x＜a(a＞0)
設∠BAC=∠CAP=α，tanα=

a-x

x

，因為∠APD=2α，tan2α=

AD

DP

=

a-x

DP

，
得DP=

2ax-a2

2x

，
所以   l(x)=

2ax-a2

2x

，定義域為(

a

2

，a)-----------------------------（7分）
（2）S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)---------------------------------（9分）
因為

a2

x

+2x≥2a

2

，僅當x=

2

2

a時取等號．又

2

2

a∈(

a

2

，a)
所以(S△ADP)max=

a2

4

(3-2

2

)，此時AB=

2

2

a-------------------------------（13分）
答：當矩形的長為

2

2

a時，綠化面積最大．----------------------------------------（14分）

點評：本題考查的知識點是函數模型的選擇與應用，基本不等式，其中（1）中根據已知條件判斷出tan2α=tan∠APD=

AD

DP

，是解答的關鍵，而（2）中關鍵是求出綠化面積S△ADP=

1

2

AD•DP=

a

4

(3a-

a2

x

-2x)的表達式，為基本不等式的使用創造條件．