Question

已知各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，且

a

2 n+1

an+an+1

a

2 n

+

a

2 n+1

-

a

2 n

=0．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）求證：{

1

an

}是等差數列；
（Ⅲ）若bn=

2n

an

+anan+1，求數列{b_n}的前n項和．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據已知條件推得數列的遞推關系式，再把2，3代入即可；
（Ⅱ）直接根據條件推得結論；
（Ⅲ）先求出數列的通項，再利用錯位相減法以及裂項法求和即可．

解答：解：∵各項均為正數的數列{a_n}滿足a₁=1，且

a

2 n+1

an+an+1

a

2 n

+

a

2 n+1

-

a

2 n

=0．
∴a_n+1•a_n（a_n+1+a_n）+（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n）=0
（a_n+1+a_n）（a_n+1•a_n+a_n+1-a_n）=0
∴a_n+1•a_n+a_n+1-a_n=0
∴

1

an

-

1

an+1

+1=0；
∴

1

an+1

-

1

an

=1．①
（Ⅰ）∴

1

a2

=1+

1

a1

=2
∴a₂=

1

2

；
同理：a₃=

1

3

．
（Ⅱ）由①得{

1

an

}是首項為1，公差為1的等差數列；
∴

1

an

=1+（n-1）×1=n；
∴a_n=

1

n

．
（Ⅲ）∴bn=

2n

an

+anan+1=•2ⁿ+

1

n(n+1)

；
{n•2ⁿ}的和
S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ …①，
2S_n=2•2¹+3•2²+…+n•2ⁿ⁺¹ …②，
∴①-②得
-S_n=2¹+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
∴-S_n=

2(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2；
{

1

n

-

1

n+1

}的和為：T_n=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
∴數列{b_n}的前n項和為：S_n+T_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2+

n

n+1

．．

點評：本題以數列遞推式為載體，考查構造法證明等差數列，考查數列的通項，考查裂項法求和．運用了錯位相減法求數列的前n項和，這個方法是高考中常用的方法，同學們要熟練掌握它．