Question

給出定義：若m-

1

2

＜x≤m+

1

2

 （其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x-{x}的三個命題：
①y=f（x）的定義域是R，值域是（-

1

2

，

1

2

]；
②函數y=f（x）的最小正周期為1； 
③函數y=f（x）在（-

1

2

，

3

2

]上是增函數．
則上述命題中真命題的序號是

①②

．

Answer 1

分析：依據函數定義，得到f（x）=x-{x再對三個命題逐個驗證后，即可得到正確結論．

解答：解：由題意知，{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，則得到f（x）=x-{x}∈（-

1

2

，

1

2

]，則命題①為真命題；
由題意知，函數f（x）=x-{x}∈（-

1

2

，

1

2

]的最小正周期為1，則命題②為真命題；
由于{x}-

1

2

＜x≤{x}+

1

2

，則得到f（x）=x-{x}為分段函數，且在（-

1

2

，

1

2

]，（

1

2

，

3

2

]上為增函數，
但在區間（-

1

2

，

3

2

]上不是增函數，故命題③為假命題．
故答案為 ①②

點評：本題考查的知識點是利用函數的三要素、性質判斷命題的真假，我們要根據定義中給出的函數，結合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調性的證明方法，對三個命題逐一進行判斷，屬于基礎題．