Question

如圖所示，在三棱錐PABC中，已知PC⊥平面ABC，點C在平面PBA內的射影D在直線PB上．

(1)求證：AB⊥平面PBC；
(2)設AB＝BC，直線PA與平面ABC所成的角為45°，求異面直線AP與BC所成的角；
(3)在(2)的條件下，求二面角C-PA-B的余弦值．

Answer 1

(1)由PC⊥平面ABC，得AB⊥PC.由點C在平面PBA內的射影D在直線PB上，
得到CD⊥平面PAB.進一步推出AB⊥平面PBC.
(2)異面直線AP與BC所成的角為60°.

(3)所求二面角的余弦值為.

試題分析：(1)∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，
∴AB⊥PC.∵點C在平面PBA內的射影D在直線PB上，
∴CD⊥平面PAB.
又∵AB?平面PBA，∴AB⊥CD.
又∵CD∩PC＝C，∴AB⊥平面PBC.
(2)∵PC⊥平面ABC，
∴∠PAC為直線PA與平面ABC所成的角．
于是∠PAC＝45°，設AB＝BC＝1，則PC＝AC＝，以B為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(0,0，0)，A(0,1,0)，C(1,0,0)，P(1,0，)，
＝(1，－1，)，＝(1,0,0)，
∵cos〈，〉＝＝，∴異面直線AP與BC所成的角為60°.

(3)取AC的中點E，連接BE，則＝（，，0），
∵AB＝BC，∴BE⊥AC.又∵平面PCA⊥平面ABC，
∴BE⊥平面PAC.∴是平面PAC的法向量．設平面PAB的法向量為n＝(x，y，z)，則由得取z＝1，得
∴n＝(－，0,1)．
于是cos〈n，〉＝＝＝－.
又∵二面角C-PA-B為銳角，∴所求二面角的余弦值為.
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，利用空間向量，省去繁瑣的證明，也是解決立體幾何問題的一個基本思路。注意運用轉化與化歸思想，將空間問題轉化成平面問題。