Question

設命題p：f（x）=

2

x-m

在區間（1，+∞）上是減函數；命題q；x₁x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根，不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對任意實數α∈[-1，1]恒成立；若￢p∧q為真，試求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：先根據分式函數的單調性求出命題p為真時m的取值范圍，然后根據題意求出|x₁-x₂|的最大值，再解不等式，若-p∧q為真則命題p假q真，從而可求出m的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=

2

x-m

在區間（-∞，m），（m，+∞）上是減函數，而已知在區間（1，+∞）上是減函數，
∴m≤1，即命題p為真命題時m＜1，命題p為假命題時m＞1，
∵x₁，x₂是方程x²-ax-2=0的兩個實根
∴

x1+x2=a x1x2=-2

∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

a2+8

∴當a∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3，
由不等式m²+5m-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立．
可得：m²+5m-3≥3，∴m≥1或m≤-6，
∴命題q為真命題時m≥1或m≤-6，
∵-p∧q為真，
∴命題p假q真，即

m＞1 m≥1或m≤-6

，
∴實數m的取值范圍是m＞1．

點評：本題主要考查了命題真假的判斷的應用，解題時要認真審題，仔細解答，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．