Question

設f（x）的定義域為D，若f（x）滿足下面兩個條件，則稱f（x）為閉函數．①f（x）在D內是單調函數；②存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]．如果f(x)=

2x+1

+k為閉函數，那么k的取值范圍是（　　）

• A、-1＜k≤-

  1

  2

• B、

  1

  2

  ≤k＜1
• C、k＞-1
• D、k＜1

Answer 1

分析：首先應根據條件將問題轉化成：

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根．然后，一方面：可以從數形結合的角度研究兩函數y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上的交點個數問題，進而獲得問題的解答；另一方面：可以化簡方程

2x+1

=x-k，得關于x的一元二次方程，從二次方程根的分布情況分析亦可獲得問題的解答．

解答：解：
方法一：因為：f(x)=

2x+1

+k為[-

1

2

，+∞)上的增函數，又f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，
∴

f(a)=a f(b)=b

，即f（x）=x在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根，即

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根．
∴問題可化為y=

2x+1

和y=x-k在[-

1

2

，+∞)上有
兩個不同交點．

對于臨界直線m，應有-k≥

1

2

，即k≤-

1

2

．
對于臨界直線n，y′=(

2x+1

)′=

1

2x+1

，
令

1

2x+1

=1，得切點P橫坐標為0，
∴P（0，1），
∴n：y=x+1，令x=0，得y=1，∴-k＜1，即k＞-1．
綜上，-1＜k≤-

1

2

．
方法二：因為：f(x)=

2x+1

+k為[-

1

2

，+∞)上的增函數，又f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，
∴

f(a)=a f(b)=b

，即f（x）=x在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根，即

2x+1

=x-k在[-

1

2

，+∞)上有兩個不等實根．
化簡方程

2x+1

=x-k，得x²-（2k+2）x+k²-1=0．
令g（x）=x²-（2k+2）x+k²-1，則由根的分布可得

g(- 1 2 )≥0 k+1＞- 1 2 △＞0

，即

(k+ 1 2 )2≥0 k＞- 3 2 k＞-1

，
解得k＞-1．又

2x+1

=x-k，∴x≥k，∴k≤-

1

2

．
綜上，-1＜k≤-

1

2

，
故選A．

點評：本題考查的是函數的最值及其幾何意義．在解答的過程當中充分體現了問題轉化的思想、數形結合的思想以及函數與方程的思想．同時二次函數根的分布情況對本體的解答也有相當大的作用．值得同學們體會和反思．