Question

在平面直角坐標系中，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為.記動點的軌跡為曲線.

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點的直線交曲線于、兩點，過點和原點的直線交直線于點，求證：直線平行于軸.

 

Answer 1

(1). ;(2).詳見解析；

【解析】

試題分析：（1）依題意知，動點滿足：點到定點與到軸的距離之差為，由此可得，進而求曲線C方程；

（2）法Ⅰ：設，求出直線的方程為，將直線與拋物線方程聯立得，得，求出直線的方程為 進而點的坐標為 直線平行于軸；

法Ⅱ：設的坐標為，求出的方程為得到點的縱坐標為， 由于， 則直線的方程為得點的縱坐標為，則軸；當時，結論也成立，故命題得證.

試題解析：（1）依題意： 2分

4分

6分

注：或直接用定義求解.

（2）法Ⅰ：設，直線的方程為

由 得 8分

直線的方程為 點的坐標為 10分

直線平行于軸. 13分

法Ⅱ：設的坐標為，則的方程為

點的縱坐標為， 8分

直線的方程為

點的縱坐標為. 11分

軸；當時，結論也成立，

直線平行于軸. 13分.

考點：1. 軌跡方程；2. 直線與圓錐曲線的綜合問題．