Question

設f（x）是定義在R上的函數，且g(x)=

C

0 n

 • f(

0

n

) • x0 • (1-x)n+

C

1 n

 • f(

1

n

) • x • (1-x)n-1+

C

2 n

 • f(

2

n

) • x2 • (1-x)n-2+…+

C

n n

 • f(

n

n

) • xn • (1-x)0
（1）若f（x）=1，求g（x）；
（2）若f（x）=x，求g（x）．

Answer 1

分析：（1）將f（x）=1代入g（x），然后利用二項展開式的形式逆用求出g（x）的值．
（2）將f（x）=x代入g（x），因為

C

k n

 • 

k

n

=

k

n

 • 

n!

(n-k)!k!

=

(n-1)!

(n-k)! • (k-1)!

=

C

k-1 n-1

代入g（x）將其提出x，利用二項展開式的形式逆用求出g（x）．

解答：解：（1）f（x）=1，則g（x）=C_n⁰（1-x）ⁿ+C_n¹•x•（1-x）^n-1+…+C_nⁿ•xⁿ•（1-x）⁰=（1-x+x）ⁿ=1
∵式子有意義，則x≠0且x≠1，
∴g（x）=1（x≠0且x≠1）
（2）f(x)=x，則 f(

k

n

)=

k

n

，
∴g(x)=

C

0 n

• 0+

C

1 n

• 

1

n

x • (1-x)n-1+

C

2 n

• 

2

n

 • x2 • (1-x)n-2+…+

C

k n

• 

k

n

 • xk • (1-x)n-k+…+C_nⁿ•1•xⁿ•（1-x）⁰
又∵

C

k n

 • 

k

n

=

k

n

 • 

n!

(n-k)!k!

=

(n-1)!

(n-k)! • (k-1)!

=

C

k-1 n-1

g（x）=C_n-1⁰•x•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x²•（1-x）^n-2+C_n-1²•x³•（1-x）^n-3+…+C_n-1^k-1•x^k•（1-x）^n-k+…+C_n-1^n-2•x^n-1•（1-x）+xⁿ
=x•[C_n-1⁰•（1-x）^n-1+C_n-1¹•x•（1-x）^n-2+…+C_n-1^n-2•x^n-2•（1-x）+C_n-1^n-1•x^n-1]
=x（1-x+x）^n-1
=x
故g（x）=x，且x≠0，x≠1

點評：本題考查二項展開式及其靈活應用，本題的關鍵是得到

C

k n

 •

k

n

=

C

k-1 n-1

，屬于中檔題．