Question

“地溝油”嚴重危害了人民群眾的身體健康，某企業在政府部門的支持下，進行技術攻關，新上了一種從“食品殘渣”中提煉出生物柴油的項目，經測算，該項目月處理成本y(元)與月處理量x(噸)之間的函數關系可以近似的表示為：

且每處理一噸“食品殘渣”，可得到能利用的生物柴油價值為200元，若該項目不獲利，政府將補貼.
(1)當x∈[200,300]時，判斷該項目能否獲利？如果獲利，求出最大利潤；如果不獲利，則政府每月至少需要補貼多少元才能使該項目不虧損；
(2)該項目每月處理量為多少噸時，才能使每噸的平均處理成本最低？

Answer 1

（1）不能獲利，政府每月至少補貼元；２、每月處理量為400噸時，平均成本最低.

解析試題分析：（1）該項目利潤等于能利用的生物柴油價值與月處理成本的差，當時，，故，故該項目不會獲利，而且當時，獲利最大為，故政府每月至少不要補貼元；（2）每噸的平均處理成本為，為分段函數，分別求每段的最小值，再比較各段最小值的大小，取較小的那個值，為平均成本的最小值．
試題解析：(1)當時，設該項目獲利為，則
，所以當時，.因此，該項目不會獲利.當時，取得最大值，∴政府每月至少需要補貼元才能使該項目不虧損.
(2)由題意可知，食品殘渣的每噸平均處理成本為：
①當時，，∴當時，取得最小值240；
②當時，.當且僅當，即時，取得最小值200.∵200<240，∴當每月處理量為400噸時，才能使每噸的平均處理成本最低.考點：1、分段函數；2、二次函數的值域；3、基本不等式.