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已知
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，且
c
•
a
=
c
•
b
=1，則對任意的正實數t，|
c
+t
a
+
1
t
b
|的最小值是（　　）
A、2
B、2
2
C、4
D、4
2
分析：利用
a
•
b
=0，|
a
|=|
b
|=1，
c
•
a
=
c
•
b
=1．建立如圖所示的直角坐標系，取
a
=(1，0)，
b
=(0，1)．
設
c
=(x，y)，可得（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．即可得到
c
=(1，1)．再利用數量積的性質、基本不等式即可得出．
解答：解：∵
a
•
b
=0，|
a
|=|
b
|=1，
c
•
a
=
c
•
b
=1．精英家教網
建立如圖所示的直角坐標系，取
a
=(1，0)，
b
=(0，1)．
設
c
=(x，y)，
∴（x，y）•（1，0）=（x，y）•（0，1）=1．
∴x=y=1．∴
c
=(1，1)．
∴|
c
|=
2
．
∵t＞0．
∴|
c
+t
a
+
1
t
b
|=
c
2+t2
a
2+
1
t2
b
2+2t
a
•
c
+
2
t
b
•
c
+2
a
•
b

=
2+2(t+
1
t
)+t2+
1
t2
≥
2+4+2
=2
2
，當且僅當t=1時取等號．
故選：B．
點評：本題考查了向量的運算法則和數量積的性質、基本不等式，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，且
c
•
a
=1，
c
•
b
=1，|
c
|=
2
，則對任意的正實數t，|
c
+t
a
+
1
t
b
|的最小值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•西區模擬）已知
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，且
c
•
a
=
c
•
d
=1，|
c
|=
2
，則對任意的正實數t，|
c
+t
a
+
1
t
b
|的最小值（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•廣西模擬）已知
a
，
b
是兩個互相垂直的單位向量，且
c
•
a
=1，
c
•
b
=1，|
c
|=
2
，
m
=t
a
則對任意的正實數t，|
c
+
m
+
1
t
b
|的最小值是（　　）

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年東北四校高三第一次高考模擬考試理科數學 題型：選擇題

已知a，b是兩個互相垂直的單位向量，且，

則對任意的正實數t，的最小值是（    ）

    A．2                B．            C．4                D．

 

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