Question

圓心在拋物線x²=2y上，與直線2x+2y+3=0相切的圓中，求面積最小的圓的方程．

Answer 1

∵圓心在拋物線x²=2y上，∴可設圓心為(a，

1

2

a2)，
又∵直線2x+2y+3=0與圓相切，
∴圓心到直線2x+2y+3=0的距離等于半徑r，
即r=

|2a+a2+3|

22+22

=

|a2+2a+3|

2 2

=

|(a+1)2+2|

2 2

≥

2

2 2

=

2

2

，
可得當a=-1時，半徑r最小，
∴所有的圓中，面積最小圓的半徑r=

2

2

，此時圓的圓心坐標為(-1，

1

2

)．
因此，所求圓的方程為(x+1)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．