Question

已知在正項數列{a_n}中，S_n表示前n項和且2

Sn

=a_n+1，則a_n=

 

．

Answer 1

分析：將條件平方，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，從而可求a_n．

解答：解：∵2

Sn

=a_n+1，
∴4Sn=(an+1)2，
∴n≥2時，4Sn-1=(an-1+1)2，
兩式相減可得4an=(an+1)2-(an-1+1)2，
化簡可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵數列各項為正，
∴a_n-a_n-1=2，
∵2

a1

=a₁+1，
∴a₁=1，
∴數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
故答案為：2n-1．

點評：本題考查數列遞推式，考查等差數列的判定，考查數列的通項，確定數列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數列是關鍵．