Question

已知在正項數列{a_n}中，a₁=1，前n項的和S_n滿足：2Sn=an+

1

an

．則此數列的通項公式a_n=

n

-

n-1

(n∈N*)

．

Answer 1

分析：根據題目給出的遞推式，取n=n+1時得到另外一個式子，兩式作差后兩邊平方運算，得到(an+12+

1

an+12

)-(an2+

1

an2

)=4，構造數列設bn=an2+

1

an2

，則數列{b_n}為等差數列，寫出等差數列的通項公式，把b_n代入后可求a_n，結合a2=

2

-1可對求出的a_n進行取舍．

解答：解：∵2Sn=an+

1

an

①
∴2Sn+1=an+1+

1

an+1

②
②-①得：2an+1=an+1+

1

an+1

-an-

1

an

，
所以an+

1

an

=

1

an+1

-an+1，
兩邊平方得：an2+

1

an2

+2=

1

an+12

+an+12-2，
即(an+12+

1

an+12

)-(an2+

1

an2

)=4
設bn=an2+

1

an2

，則b_n+1-b_n=4，
而b1=a12+

1

a12

=1+1=2．
所以數列{b_n}是首項為2，公差為4的等差數列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
則an2+

1

an2

=4n-2，即(an+

1

an

)2=4n，又a_n＞0＞0，故an+

1

an

=2

n

，
從而an2-2

n

an+1=0，解得：an=

n

±

n-1

，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）=a2+

1

a2

，即a22+2a2-1=0，解得a₂=-1±

2

，
取a2=

2

-1＞0，則只有an=

n

-

n-1

符合．
所以，此數列的通項公式an=

n

-

n-1

．
故答案為有an=

n

-

n-1

（n∈N^*）．

點評：本題考查了數列的概念及簡單表示法，考查了利用遞推式求數列的通項公式，在遞推式中替換n=n+1（或n-1）得另外一個遞推式，兩式聯立求解是解答此類問題常用的方法，解答該題的關鍵是兩式作差后兩邊平方，然后構造函數，這也是該題的難點所在，該題是中檔題．