Question

（08年潮州市二模理）（14分）如圖,過拋物線的對稱軸上任一點作直線與拋物線交于A、B兩點，點Q是點P關于原點的對稱點．

 ⑴ 設點P滿足（為實數），證明：；

⑵ 設直線AB的方程是，過A、B兩點的圓C與拋物線在點A處有共同的切線，求圓C的方程．

 

Answer 1

解析：解⑴．依題意,可設直線AB的方程為,代入拋物線方程，得：

         ①       ………………………………    ２分

設A、B兩點的坐標分別是、，則是方程①的兩根，

所以，．　　……………………………………………………   ３分

由點P滿足（為實數，），得， 即．

又點Q是點P關于原點的以稱點，故點Q的坐標是，從而．

=

 =

 = =0     …………………………  6分

 所以，．   ………………………  7分

 ⑵．由得點A、B的坐標分別是、．

由得，

所以，拋物線在點A處切線的斜率為．　……………  9分

 設圓C的方程是，  

 則            …………………  11分

  解得：．……………………  13分

 所以，圓C的方程是．     ……………  14分