Question

(本小題滿分16分)

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn), 點(diǎn),點(diǎn)在橢

圓上, .

 

(1)求直線的方程；

(2)求直線被過三點(diǎn)的圓截得的弦長；

(3)是否存在分別以為弦的兩個(gè)相外切的等圓?若存在,求出這兩個(gè)圓的方程；若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) ；

(3)存在這樣的兩個(gè)圓,且方程分別為,。

【解析】(1)根據(jù),B、P關(guān)于y軸對稱,可求得,再求出BD的斜率,寫出點(diǎn)斜式方程,再化成一般式即可.

(2)先求出BP的垂直平分線方程,然后利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到此平分線的距離,再利用弦長公式求出弦長即可.

(3)解本小題的關(guān)系是先假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,從而分析出點(diǎn)M一定在y軸上,點(diǎn)N一定在線段PC的垂直平分線上,當(dāng)圓和圓是兩個(gè)相外切的等圓時(shí),一定有P,M,N在一條直線上,且PM=PN.到此就有了明晰的解題思路.

(1)因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012091821134683783322/SYS201209182114190593781179_DA.files/image005.png">,且A(3,0),所以=2,而B,P關(guān)于y軸對稱,所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1,從而得……………………3分         

所以直線BD的方程為…………………………5分

(2)線段BP的垂直平分線方程為x=0,線段AP的垂直平分線方程為,

所以圓C的圓心為(0,－1),且圓C的半徑為………………………8分

又圓心(0,－1)到直線BD的距離為,所以直線被圓截得的弦長

為……………………………10分

(3)假設(shè)存在這樣的兩個(gè)圓M與圓N,其中PB是圓M的弦,PA是圓N的弦,則點(diǎn)M一定在y軸上,點(diǎn)N一定在線段PC的垂直平分線上,當(dāng)圓和圓是兩個(gè)相外切的等圓時(shí),一定有P,M,N在一條直線上,且PM=PN…………………………………12分

設(shè),則,根據(jù)在直線上,

解得………………………14分

所以,故存在這樣的兩個(gè)圓,且方程分別為

,……………………………16分