Question

求證：

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2n-1)•2n

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

n+n

．

Answer 1

分析：運用數學歸納法，分兩步加以論證：①當n=1時，可得原等式為

1

2

=

1

2

，顯然成立；②設當n=k時原等式成立，即有

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

，將此代入n=k+1的式子并利用

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

2k+1

-

1

2k+2

進行化簡，可證出當n=k+1的式子左右兩邊也相等．最后由①②相結合，可得原等式以任意的n∈N^*恒成立．

解答：解：①當n=1時，左邊=

1

1×2

=

1

2

，右邊=

1

1+1

=

1

2

，等式成立．
②假設當n=k時等式成立，即

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

．
則當n=k+1時，

1

1×2

+

1

3×4

+…+

1

(2k-1)•2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

+

1

(2k+1)(2k+2)

=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

1

k+1

+

1

(2k+1)(2k+2)

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+（

2

2k+2

+

1

2k+1

-

1

2k+2

）
=

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

(k+1)+k

+

1

(k+1)+(k+1)

，
即當n=k+1時，等式成立．
根據（1）（2）可知，對一切n∈N^*，原等式成立．

點評：本題給出一個恒等式，要求我們利用數學歸納法進行證明．著重考查了數列的通項寫法、裂項法證明等式和數學歸納法的一般方法等知識，屬于中檔題．