Question

已知數集序列{1}，{3，5}，{7，9，11}，{13，15，17，19}，…，其中第n個集合有n個元素，每一個集合都由連續正奇數組成，并且每一個集合中的最大數與后一個集合中的最小數是連續奇數．
（1）求第n個集合中各數之和S_n的表達式；
（2）設n是不小于2的正整數，f(n)=

n

i=1

1

3 Si

，求證：n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)．

Answer 1

分析：（1）第一個集合中有一個數，第二個集合中有2個數，第三個集合中有3個數，…第n個集合中有n個數，利用等差數列求和公式計算a_n前共有多少個奇數，從而得到第n個集合中各數之和S_n的表達式．
（2）由（1）得f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．用數學歸納法證明整除問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，結論顯然成立，第二步，先假設假設當n=k時結論成立，利用此假設結合因式的配湊法，證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：解：（1）設第n個集合中的最小數為a_n，則a_n前共有1+2+3+…+(n-1)=

n(n-1)

2

個奇數，
∴an=2×[

n(n-1)

2

+1]-1=n2-n+1．　　　　…（3分）
從而Sn=n(n2-n+1)+

n(n-1)

2

×2=n3．  …（5分）
（2）由（1）得，

3	Si

=i(i=1，2，3，…，n)，
∴f(n)=

n

i=1

1

3 Si

=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．
下面用數學歸納法證明n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)． …（7分）
當n=2時，左邊=2+f（1）=3，右邊=2f(2)=2(1+

1

2

)=3，等式成立；
假設n=k（k≥2）時，等式成立，即k+f（1）+f（2）+…+f（k-1）=kf（k）成立，
那么，當n=k+1時，
左邊=（k+1）+f（1）+f（2）+…+f（k-1）+f（k）=kf（k）+1+f（k）=（k+1）f（k）+1=(k+1)

k

i=1

1

i

+1．
右邊=(k+1)f(k+1)=(k+1)

k+1

i=1

1

i

=(k+1)[

k

i=1

1

i

+

1

k+1

]=(k+1)

k

i=1

1

i

+1，
即左邊=右邊，
∴等式也成立．…（9分）
綜上可知，對一切不小于2的正整數n，等式n+

n-1

i=1

f(i)=nf(n)都成立．…（10分）

點評：本題考查數列求和的方法，注意集合中元素的特征及元素個數的規律；本題還考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式：
設P（n）是關于自然數n的命題，若1°P（n₀）成立（奠基）2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立．