Question

已知數集序列{1},{3,5},{7,9,11},{13,15,17,19},…，其中第n個集合中有n個元素(n∈N^*),每一個集合都由連續正奇數組成,并且每一個集合中的最大數與后一個集合中的最小數是連續奇數.

(1)求數集序列第n個集合中最大數a_n的表達式;

(2)設數集序列第n個集合中各數之和為T_n.

①求T_n的表達式;

②令f(n)=()ⁿ,求證:2≤f(n)＜3.

Answer 1

解:(1)∵第n個集合有n個奇數,

∴在前n個集合中共有奇數的個數為1+2+3+…+(n-1)+n=n(n+1).

則第n個集合中最大的奇數a_n=2×n(n+1)-1=n²+n-1.

(2)①由(1)得a_n=n²+n-1,

從而得T_n=n(n²+n-1)-×2=n³.

②由①得T_n=n³,

∴f(n)=(1+)ⁿ=(1+)ⁿ(n∈N^*).

ⅰ當n=1時,f(1)=2,顯然2≤f(1)＜3.

ⅱ當n≥2時,(1+)ⁿ=()⁰+()¹+()²+…+()ⁿ

＞()⁰+()¹=2,

()^k=·＜

≤=-.

∴(1+)ⁿ=()⁰+()¹+()²+…+()ⁿ

＜1+1+(1-)+(-)+…+(-)

=3-＜3,

即2＜f(n)＜3.

綜上所述,2≤f(n)＜3.