Question

已知函數的導函數為偶函數，且曲線在點處的切線的斜率為.
（1）確定的值；
（2）若，判斷的單調性；
（3）若有極值，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）增函數；（3）.

試題分析：（1）由
因為是偶函數，所以，又曲線在點處的切線的斜率為，所以有，利用以上兩條件列方程組可解的值；
（2）由（1），，當時，利用的符號判斷的單調性；
（3）要使函數有極值，必須有零點，由于，所以可以對的取值分類討論，得到時滿足條件的的取值范圍.
解：（1）對求導得，由為偶函數，知，
即，因，所以
又，故.
（2）當時，，那么

故在上為增函數.
（3）由（1）知，而，當時等號成立.
下面分三種情況進行討論.
當時，對任意，此時無極值；
當時，對任意，此時無極值；
當時，令，注意到方程有兩根，
即有兩個根或.
當時，；又當時，從而在處取得極小值.
綜上，若有極值，則的取值范圍為.