Question

為圓周率，為自然對數的底數.
（1）求函數的單調區間；
（2）求，，，，，這6個數中的最大數與最小數；
（3）將，，，，，這6個數按從小到大的順序排列，并證明你的結論.

Answer 1

（1）單調增區間為，單調減區間為；（2）最大數為，最小數為；（3），，，，，.

試題分析：（1）先求函數的定義域，用導數法求函數的單調區間；（2）利用（1）的結論結合函數根據函數、、的性質，確定，，，，，這6個數中的最大數與最小數；（3）由（1），（2）的結論只需比較與和與的大小，時，，即，在上式中，令，又，則，即得，整理得，估算的值，比較與3的大小，從而確定與的大小關系，再根據，確定與的大小關系，最后確定6個數從小到大的順序.
（1）函數的定義域為，因為，所以，
當，即時，函數單調遞增；
當，即時，函數單調遞減；
故函數的單調增區間為，單調減區間為.
（2）因為，所以，，即，，
于是根據函數、、在定義域上單調遞增，
所以，，
故這6個數的最大數在與之中，最小數在與之中，
由及（1）的結論得，即，
由得，所以，
由得，所以，
綜上，6個數中的最大數為，最小數為.
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比較與和與的大小，
由（1）知，當時，，即，
在上式中，令，又，則，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
綜上所述，，即6個數從小到大的順序為，，，，，.