Question

已知點A（2，0），B（0，2），點C（x，y）在單位圓上．
（1）若|

OA

+

.

OC

|=

7

（O為坐標原點），求

.

OB

與

.

OC

的夾角；
（2）若

.

AC

⊥

.

BC

，求點C的坐標．

Answer 1

考點：單位圓與周期性,平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：（1）由已知得

x2+y2=1 (2+x)2+y2=7

，從而cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

2y

2 x2+y2

=y=±

3

2

，由此能求出

OB

與

OC

的夾角．
（2）

AC

=（x-2，y），

BC

=（x，y-2），由

AC

⊥

BC

得

x2+y2=1 x2+y2-2x-2y=0

，由此能求出點C的坐標．

解答：解：（1）

OA

=(2，0)，

OC

=(x，y)，

OB

=(0，2)．
且x²+y²=1，

OA

+

OC

=（2+x，y），
由|

OA

+

OC

|=

7

，得（2+x）²+y²=7，
由

x2+y2=1 (2+x)2+y2=7

，聯立解得，x=

1

2

，y=±

3

2

．（2分）
cos＜

OB

，

OC

＞=

OB • OC

| OB |•| OC |

=

2y

2 x2+y2

=y=±

3

2

，（4分）
所以

OB

與

OC

的夾角為30°或150°．（6分）
（2）

AC

=（x-2，y），

BC

=（x，y-2），由

AC

⊥

BC

得，

AC

•

BC

=0，
由

x2+y2=1 x2+y2-2x-2y=0

，解得

x= 1- 7 4 y= 1+ 7 4

或

x= 1+ 7 4 y= 1- 7 4

，（10分）
所以點C的坐標為（

1- 7

4

，

1+ 7

4

）或（

1+ 7

4

，

1- 7

4

）．（12分）

點評：本題考查兩向量的夾角的求法，考查點的坐標的求法，解題時要認真審題，注意單位圓的性質的合理運用．