Question

（2005•海淀區二模）辦公大樓共有15層，現每層（除13層外）派1人集中到第k層開會．當這14位參加會議的人員上、下樓梯所走路程的總和最少時，k的值為

7或8

．

Answer 1

分析：設相鄰兩層樓梯長為a，則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]，分類討論，即可得到結論．

解答：解：對于有n層的辦公大樓，設相鄰兩層樓梯長為a，則問題轉化為下列和式S的最小值的探求：
S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]=a[k²-（n+1）k+

1

2

（n²+n）]．
目標函數S（k）為k的二次函數，且a＞0，
故當n為奇數時，取k=

n+1

2

，S最小；當n為偶數時，取k=

n

2

或

n+2

2

，S最小．
在本題中，辦公大樓共有15層，第13層除外，由于可以認為是n=14，故當n=7，或 n=8時，
這14位參加會議的人員上、下樓梯所走路程的總和最少，
故答案為 7或8．

點評：本題考查函數的最值，考查學生分析解決問題的能力，正確建模是關鍵，屬于中檔題．