Question

如圖所示，已知在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=

π

2

，AO=2，BO=6，D為A₁B₁的中點，且異面直線OD與A₁B垂直，則三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高是

4

．

Answer 1

分析：設三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高為t，（t＞0）以OA為x軸，以OB為y軸，以OO₁為z軸，建立空間直角坐標系，結合題設條件，利用空間向量能夠求出結果．

解答：解：設三棱柱ABO-A₁B₁O₁的高為t，（t＞0）
以OA為x軸，以OB為y軸，以OO₁為z軸，建立空間直角坐標系，
∵在直三棱柱ABO-A₁B₁O₁中，∠AOB=

π

2

，AO=2，BO=6，D為A₁B₁的中點，
∴A（2，0，0），B（0，6，0），A₁（2，0，t），B₁（0，6，t），D（1，3，t），
∴

A1B

=(-2，6，-t)，

OD

=(1，3，t)，
∵異面直線OD與A₁B垂直，
∴

A1B

•

OD

=-2+18-t²=0，
解得t=4．
故答案為：4．

點評：本題考查三棱柱的高的求法，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意向量法的合理運用．