Question

（本小題滿分12分）
如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E，H分別是棱A₁B₁，D₁C₁上的點（點E與B₁不重合），且EH∥A₁ D₁. 過EH的平面與棱BB₁，CC₁相交，交點分別為F，G。

（I）           證明：AD∥平面EFGH；
（II）        設AB=2AA₁ ="2" a .在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁內隨機選取一點。記該點取自幾何體A₁ABFE-D₁DCGH內的概率為p，當點E，F分別在棱A₁B₁上運動且滿足EF=a時，求p的最小值.

Answer 1

（I）見解析（II）p的最小值等于7/8

本小題主要考察直線與直線、直線與平面的位置關系，以及幾何體的體積、幾何概念等基礎知識，考察空間想象能力、推理論證能力、運算求解能力，考察函數與方程思想、形數結合思想、化歸與轉化思想、必然與或然思想。滿分12分
解法一：
（I）                  證明：在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，AD∥A₁ D₁
又∵EH∥A₁ D₁，∴AD∥EH.
∵AD￠平面EFGH
EH 平面EFGH
∴AD//平面EFGH.
（II）               設BC=b，則長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁ =2a²b，
幾何體EB₁F-HC₁G的體積V₁ =（1/2EB₁ ·B₁F）·B₁C₁ =b/2·EB­₁ ·B₁ F
∵EB₁² + B₁ F²=a²
∴EB₁² + B₁ F²≤ （EB₁² + B₁ F²）/2 = a² / 2,當且僅當EB­₁ =B₁ F=  a時等號成立
從而V₁ ≤ a²b /4 .
故 p=1-V₁/V ≥=
解法二：
（I）                   同解法一
（II）                設BC=b，則長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁的體積V=AB·AD·AA₁ =2a²b ，
幾何體EB₁F-HC₁G的體積
V₁=（1/2 EB­₁ ·B₁ F）·B₁C₁ =b/2 EB­₁ ·B₁ F
設∠B₁EF=θ（0°≤θ≤90°），則EB­₁ =" a" cosθ，B₁ F ="a" sinθ
故EB­₁ ·B₁ F = a² sinθcosθ=，當且僅當sin 2θ=1即θ=45°時等號成立.
從而
∴p=1- V₁/V≥=，當且僅當sin 2θ=1即θ=45°時等號成立.
所以，p的最小值等于7/8