Question

(本小題滿分14分)設圓,將曲線上每一點的縱坐標壓縮到原來的,對應的橫坐標不變,得到曲線C.經過點M(2,1),平行于OM的直線在y軸上的截距為m(m≠0),交曲線C于A、B兩個不同點.
(1)求曲線的方程；
(2)求m的取值范圍；
(3)求證直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.

Answer 1

解:(1)在曲線上任取一個動點P(x,y),則點(x,2y)在圓上.所以有.整理得曲線C的方程為.
它表示一個焦點在x軸上的橢圓.                              …………4分
(2)∵直線平行于OM，且在y軸上的截距為m,又,
∴直線的方程為.                                     …………6分
由,                             …………7分
∵直線與橢圓交于A、B兩個不同點，    …………8分
解得.∴m的取值范圍是.   …………10分
(3)設直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂，只需證明k₁+k₂=0即可.
設
,可得.……12分

.
k₁+k₂=0.故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形.                …………14分