Question

若對函數y=f（x）定義域內的每一個值x₁，都存在唯一的值x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立，則稱此函數為“黃金函數”，給出下列三個命題：
①y=x^-2是“黃金函數”；
②y=lnx是“黃金函數”；
③y=2^x是“黃金函數”，
其中正確命題的序號是

③

．

Answer 1

分析：由題意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數一定是單調函數，①不是單調函數，不合題意．因為對于函數f（x）=lnx當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到結果．

解答：解：由題設知，對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁，存在定義域內的唯一一個自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函數一定是單調函數，否則可能存在定義域內的不止一個自變量x₂，使得f（x₁）f（x₂）=1成立．
∵①不是單調函數，不合題意．
②因為對于函數f（x）=lnx，當x₁=1時，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
對于③f（x）=2^x，滿足對于f（x）定義域內的任意一個自變量x₁，都存在定義域內的唯一一個自變量x₂=-x₁使得f（x₁）f（x₂）=1成立，故③滿足題意；
∴由此可知，滿足條件的函數有③．
故答案為：③．

點評：本題考查函數的單調性及函數的特殊點的值，本題解題的關鍵是看出函數的單調性，并且注意函數自變量特殊值的性質，本題是一個中檔題目．