Question

已知函數f(x)＝2ax－－(2＋a)lnx(a≥0)
（Ⅰ）當時，求的極值；
（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調性；
(Ⅲ）若對任意的a∈(2,3)，x­₁,x₂∈[1,3]，恒有成立，求實數m的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）的極大值為，無極小值；（Ⅱ）①當時，在和上是增函數，在上是減函數；②當時，在上是增函數；③當時，在和上是增函數，在上是減函數 ； (Ⅲ）

解析試題分析：（Ⅰ）當時，求的極值，首先確定函數的定義域為，對函數求導函數，確定函數的單調性，即可求得函數的極值；（Ⅱ）當a＞0時，討論的單調性，首先對函數求導函數，并分解得，再進行分類討論，利用，確定函數單調減區間；，確定函數的單調增區間；（Ⅲ）若對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]，恒有成立，只要求出的最大值即可，因此確定函數在上單調遞減，可得的最大值與最小值，從而得，進而利用分離參數法，可得，從而可求實數的取值范圍
試題解析：（Ⅰ）當時，    2分
由,解得 ，可知在上是增函數，在上是減函數     4分
∴的極大值為，無極小值                    5分
（Ⅱ），
①當時，在和上是增函數，在上是減函數；   7分
②當時，在上是增函數；                      8分
③當時，在和上是增函數，在上是減函數  9分
(Ⅲ）當時，由（2）可知在上是增函數，
∴               10分
由對任意的a∈(2, 3)，x­₁, x₂∈[1, 3]恒成立，
∴                        11分
即對任意恒成立，
即對任意恒成立，                         12分
由于當時，，∴            14分
考點：利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性；函數在某點取得極值的條件