Question

設函數定義域為，且.設點是函數圖像上的任意一點，過點分別作直線和 軸的垂線，垂足分別為．

（1）寫出的單調遞減區間（不必證明）；
（2）問：是否為定值？若是，則求出該定值，若不是，則說明理由；
（3）設為坐標原點，求四邊形面積的最小值.

Answer 1

（1）函數在上是減函數.
（2） 
（3）。

解析試題分析：
思路分析：（1）根據函數的圖象過點，確定a，進一步認識函數的單調性。
（2）、設 ，根據直線的斜率 ，確定的方程。
利用聯立方程組求得M,N的坐標，計算可得 。
（3）、為求四邊形面積的最小值，根據（2）將面積用 表示，
，應用均值定理求解。
解：（1）、因為函數的圖象過點，
所以函數在上是減函數.
（2）、設 ，直線的斜率 ，
則的方程。
聯立 ，
 、 
，
 
（2）、（文）設，直線的斜率為，
則的方程 ，
聯立 ， ，
3、 ， ，
∴，
，，
∴ ，，
當且僅當時，等號成立，∴ 此時四邊形面積有最小值。
考點：函數的單調性，直線與雙曲線的位置關系，平面向量的坐標運算，均值定理的應用，面積計算。
點評：中檔題，本題綜合性較強，難度較大。以“對號函數”為背景，綜合考查函數的單調性，直線與雙曲線的位置關系，平面向量的坐標運算，均值定理的應用，面積計算等。