Question

已知函數的自變量的取值區間為A，若其值域區間也為A，則稱A為的保值區間.
（Ⅰ）求函數形如的保值區間；
（Ⅱ）函數是否存在形如的保值區間？若存在，求出實數的值，若不存在，請說明理由.

Answer 1

（Ⅰ）或.（Ⅱ）不存在

解析試題分析：（Ⅰ）因為時值域為。所以要使為保值區間，則。根據保值區間的定義可得，解方程即可得。（Ⅱ）將去絕對值改寫為分段函數，討論其單調性。同時討論與單調區間的關系。根據保值區間的定義列方程計算。
試題解析：解（Ⅰ），又在是增函數，. . .
函數形如的保值區間有或.      2分
（Ⅱ）假設存在實數a，b使得函數，有形如的保值區間，則.              4分
當實數 時，在上為減函數，故，
即  =b與＜b矛盾.
故此情況不存在滿足條件的實數a，b.      5分
（2）當實數時，在為增函數，故 
即得方程在上有兩個不等的實根，而，
即無實根.
故此情況不存在滿足條件的實數a，b.      6分
（3）當，，，而，.
故此情況不存在滿足條件的實數a，b.                 7分
綜上所述，不存在實數使得函數，有形如的保值區間.   8分
考點：對新概念的理解和運用，考查對所學知識的綜合運用及分析能力和解決問題的能力。