Question

已知橢圓C₁，拋物線C₂的焦點均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩點，將其坐標記錄于下表中：

x	3	-2	4	2
y	-2 3	0	-4	2 2

（Ⅰ）求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）若過曲線C₁的右焦點F₂的任意一條直線與曲線C₁相交于A、B兩點，試證明在x軸上存在一定點P，使得

PA

•

PB

的值是常數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）驗證4個點知（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，（-2，0），（

2

，

2

2

）在橢圓上，由此可求C₁、C₂的標準方程；
（Ⅱ）分類討論，利用

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設拋物線C₂：y²=2px（p≠0），則有

y2

x

=2p(x≠0)，
據此驗證4個點知（3，-2

3

），（4，-4）在拋物線上，∴C₂的標準方程為y²=4x．…（2分）
設C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，把點（-2，0），（

2

，

2

2

）代入得：

4 a2 =1 2 a2 + 1 2b2 =1

，解得

a2=4 b2=1

．
∴C₁的標準方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）①當直線AB不與x軸垂直時，設其方程為y=k（x-

3

），代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²-8

3

k²x+12k²-4=0，則
x_A+x_B=

8 3 k2

1+4k2

，x_Ax_B=

12k2-4

1+4k2

．…（8分）
設點P（t，0），則

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=

t2-4+(11-8 3 t+4t2)k2

1+4k2

．…（10分）
當

t2-4

1

=

11-8 3 t+4t2

4

，即t=

9 3

8

時，對任意k∈R，

PA

•

PB

=-

13

64

．…（12分）
②當AB⊥x軸時，直線AB的方程為x=

3

，x_A=x_B=

3

，y_Ay_B=-

1

4

．
若t=

9 3

8

，則

PA

•

PB

=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=-

13

64

故存在x軸上的點P（

9 3

8

，0），使得

PA

•

PB

的值是常數-

13

64

．…（13分）

點評：本題主要考查拋物線、橢圓的標準方程，考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．