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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
對于實數x，若整數m滿足x-
1
2
≤m＜x+
1
2
，則稱m為離x最近的整數，記為{x}=m，f（x）=|x-{x}|，給出下列四個命題：
①{1.5}=2；  
②函數y=f（x）的值域是[0，
1
2
]；
③函數y=f（x）的圖象關于直線x=
k
2
（k∈Z）對稱；
④函數y=f（x）是周期函數，最小正周期是1；
其中真命題是
②③④
②③④
．
分析：根據題意，先對函數化簡，作出函數圖象，根據函數的圖象可判斷各個選項是否正確
解答：解：根據題意得，x-{x}=
…
x (-
1
2
＜x≤
1
2
)
x-1 (
1
2
＜x≤
3
2
)
x-2  (
3
2
＜x≤
5
2
)
…

作出f（x）=|x-{x}|的圖象如圖所示：
∴{1.5}=
1
2
，知①錯；
y=f（x）的值域是[0，
1
2
]，∴②對；
y=f（x）的圖象關于直線x=
k
2
（k∈Z）對稱，∴③對；
y=f（x）是周期函數，最小正周期是1，∴④對；
故答案為：②③④
點評：本題考查了新定義概念，解題的關鍵是讀懂定義內涵，嘗試探究規律，是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出定義：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（m∈Z），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m；在此基礎上有函數f（x）=|x-{x}|（x∈R）．對于函數f（x）給出如下判斷：①函數f（x）是偶函數；②函數f（x）是周期函數；③函數f（x）在區間(-
1
2
，
1
2
]上單調遞增；④函數f（x）的圖象關于直線x=k+
1
2
（k∈Z）對稱．則以上判斷中正確結論的個數是（　　）

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科目：高中數學 來源： 題型：

給出定義：若m-
1
2
＜x≤m+
1
2
（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即 {x}=m．在此基礎上有函數f(x)=|x-{x}
.
_  
(x∈
．
（1）求f(4)，f(-
1
2
)，f(-8.3)的值；
（2）對于函數f（x），現給出如下一些判斷：
①函數y=f（x）是偶函數；
②函數y=f（x）是周期函數；
③函數y=f（x）在區間(-
1
2
，
1
2
]上單調遞增；
④函數y=f（x）的圖象關于直線x=k+
1
2
 &(k∈Z)
對稱；
請你將以上四個判斷中正確的結論全部選擇出來，并選擇其中一個加以證明；
（3）若-206＜x≤207，試求方程f(x)=
9
23
的所有解的和．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）將函數y=f（x）圖象向右平移一個單位即可得到函數y=φ（x）的圖象，試寫出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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