Question

18. 如圖，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱長為3的正方體，點E在AA₁上，點F在CC₁上，且AE=FC₁=1.

（1）求證：E、B、F、D₁四點共面；

（2）若點G在BC上，BG＝，點M在BB₁上，GM⊥BF，垂足為H，求證：EM⊥平面BCC₁B₁；

（3）用θ表示截面EBFD₁和側面BCC₁B₁，所成的銳二面角的大小，求tanθ.

Answer 1

解法一：

（1）如圖，在DD₁上取點N，使DN=1，連結EN，CN，則AE=DN=1，CF=ND₁=2.

因為AE∥DN，ND₁∥CF，所以四邊形ADNE、CFD₁N都為平行四邊形.

從而ENAD，FD₁∥CN.

又因為ADBC，所以ENBC，故四邊形BCNE是平行四邊形，由此推知CN∥BE，從而FD₁∥BE.

因此，E、B、F、D₁四點共面.

（2）如圖，GM⊥BF，又BM⊥BC，所以∠BGM=∠CFB，BM=BG·tan∠BGM=BG·tan ∠CFB=BG·=×=1.

因為AEBM，所以ABME為平行四邊形，從而AB∥EM。

又AB⊥平面BCC₁B₁，所以EM⊥平面BCC₁B₁。

（3）如圖，連結EH，因為MH⊥BF，EM⊥BF，所以BF⊥平面EMH，得EH⊥BF。

于是∠EHM是所求的二面角的平面角，即∠EHM＝θ。

因為∠MBH＝∠CFB，所以

MH=BM·sin∠MBH=BM·sin∠CFB=BM·=1×，

tanθ=.

解法二：

（1）建立如圖所示的坐標系，則=（3，0，1）， =（0，3，2）， =（3，3，3）.所以＝＋。故、、共面。

又它們有公共點B，所以E、B、F、D₁四點共面。

（2）如圖，設M（0，0，z），則＝（0， -，z），而＝（0，3，2），由題設得

·＝－·3＋z·2=0，得z=1。

因為M（0，0，1），E（3，0，1），有＝（3，0，0）.

又＝（0，0，3）， ＝（0，3，0），所以·＝0， ·＝0，從而ME⊥BB₁，ME⊥BC。故ME⊥平面BCC₁B₁。

（3）設向量＝（x，y，3）⊥截面EBFD₁，于是⊥，⊥。

而＝（3，0，1），＝（0，3，2），得·＝3x+3=0， ·＝3y+6=0，解得x= -1，y= -2，所以＝（－1，－2，3）.

又＝（3，0，0）⊥平面BCC₁B₁，所以和的夾角等于θ或π－θ（θ為銳角）。

于是cosθ=.

故tanθ=.